09_aula.Rmd

```{r, include=FALSE}
library(ggplot2)
library(tidyverse)

knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# Aula 9

### Modelos Contínuos

1. Sejam $a,b$ números reais positivos tais que $a>b$. Diz-se que $X \sim Unif(a,b)$ se sua f.d.p. é dada por

$$f(x) = \frac{\mathbb{I}(x)}{b-a}$$
```{r}

data_frame(x = seq(-1,2,by = 0.05), y = 1/3, Parâmetros = "a = -1, b = 2") %>% 
bind_rows(data_frame(x = seq(0,1,by = 0.05), y = 1, Parâmetros = "a = 0, b = 1")) %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = y, color = Parâmetros)) +
  geom_line() +
  theme_bw() +
  scale_y_continuous(limits = c(0,2))

```
2. Sejam $a,b$ números reais positivos. Diz-se que $X \sim Gama(a,b)$ se sua f.d.p. é dada por

$$f(x) = \frac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-bx}\mathbb{I}(x)_{\{0,\infty\}}$$
```{r}

data_frame(x = seq(0,5,by = 0.05), y = dgamma(x, shape = 5, rate = 5)) %>% 
  ggplot(aes(x = x, y = y)) +
  geom_line() +
  theme_bw() +
  ggtitle("Distribuição gamma com parâmetros a=5 e b=5")

```
2.1 $a = 1 \implies X \sim Exp(b)$

2.2 $a = \frac{n}{2}, b = \frac{1}{2} \implies X \sim \chi^2(n)$

3. $X \sim Beta(a,b), a,b > 0$ se

$$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathbb{I}(x)_{[0,1]}$$
4. $X \sim Normal(\mu, \sigma^2), \mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$, se

$$f(x) = \frac{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\pi\sigma^2}\right)}{\sqrt{2\pi}\sigma} = \exp\left(-\log(\sqrt{2\pi}\sigma)-\frac{(x-\mu)^2}{2\pi\sigma^2}\right)$$
5. $X \sim Dirichlet(a_1, ..., a_k, a_{k+1}), a_i > 0, \forall i$ se

$$f(x_1, ..., x_k) = \frac{\Gamma\left(\sum_{i=1}^ka_i\right)}{\prod_{j=0}^k \Gamma(a_j)}x_1^{a_1-1}...x_{k}^{a_k - 1}\left(1-\sum_{i=1}^k x_i\right)^{a_{k+1}-1}\mathbb{I}(x)_{S_k},$$

onde

$$S_k = \{x = (x_1,...,x_k) \in \mathbb{R}^k_+ \ : \ \sum_{i=1}^k x_i \leq 1\}$$
6. $X \sim Normal\left(\mu = (\mu_1, ..., \mu_k), \Sigma = \begin{array}{|ccc|}\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\\end{array}\right)$ se

$$f(x) = \left(\frac{1}{2\pi|\Sigma|}\right)^{\frac{k}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)\mathbb{I}(x)_{\mathbb{R}^k}$$
### Variáveis aleatórias mistas

Dizemos que a distribuição de uma v.a. $X$ é uma mistura de duas distribuições $F_1(x)$ e $F_2(x)$ se sua distribuição tiver a forma:

$$F_X(x) = \lambda F_1(x)+(1-\lambda)F_2(x), 1 > \lambda > 0$$
Dizemos que a v.a. $X$ é mista se sua f.d.p. é dada por uma mistura de uma função de distribuição discreta e uma função de distribuição absolutamente contínua.